Exponential distribution(망각성질 / 기하분포와의 관계)

지수분포는 이산분포인 기하함수와 비슷한 연속분포이다. 사건이 서로 독립적일 때, 일정 시간동안 발생하는 사건의 횟수가 푸아송 분포를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따른다

interval time t 에서의 평균 성공확률은 tλ이다. 

연속확률변수 X가 지수분포를 가진다면 (λ>0), PDF는 다음과 같다.

 

이때 X ~ Expo(λ)라고 표기하며 상응하는 CDF는 

 

 

 

 

 

 

위 그림은 X~Expo(1)의 PDF와 CDF를 그린 것이다.

여기서 우리는 X를 가지고 scale을 조정하여 일반적인 Expo(λ)를 유도할 수 있는데,

 

 

위와 같이 X를 원하는 λ값으로 나누면 그 확률변수는 Expo(λ)를 따르게 된다. 

 

  

 

간단한 부분적분을 실행하면 위와 같이 지수분포의 기댓값과 분산을 구할 수 있다.

 

Memoryless property

지수분포는 망각성질이라는 아주 특별한 특성을 가지고 있는데, 

(s, t >0)

아주 간단한 식이라 직관적으로 의미를 알 수 있다. 어떤 사건이 일어나길 s만큼의 시간을 보냈어도, 거기서 t만큼의 시간을 더 보내야할 확률이 그냥 처음부터 t만큼 기다릴 확률과 같다!

조건부확률의 정의를 활용해 간단하게 증명이 가능하다.

 

 

 

지수분포와 기하분포의 관계

 

 

 

unit time을 N개의 subinterval로 나누고 각 subinterval마다의 사건이 일어날 확률이 i.i.d. Bern(p)라고 가정하자.

λ를 한 unit time동안 일어나는 사건 수의 평균이라고 한다면, λ=Np이다.

사건이 일어나기까지의 subinterval의 수 G는 기하분포를 따른다.

여기서 G가 k보다 클 확률(사건이 일어나기까지 k번의 시도 이상일 확률) CDF는 다음과 같다.

 

 

여기서 사건이 일어나기까지의 시간 개념 t를 도입하자면, t=k/N이다. (위 그림 참고)

이 때, N을 무한대로 근사한다면 subinterval이 무한히 작아지면서 본디 시간의 성질처럼 연속적인 시간 상에서 논의를 진행할 수 있다. (위 그림 상의 간격 수가 무한히 늘어나면서 한 간격의 길이는 매우 작아짐)

이제 사건이 일어나기까지의 시간을 확률변수 X로 놓고 이것이 t보다 클 확률은 다음과 같고,

 

 

지수분포의 CDF와 기하분포의 CDF가 극한으로 연결되어 있음을 확인할 수 있다.