Multivariate Normal

Multivariate Normal (다변량 정규분포)는 정규분포를 고차원으로 일반화한 연속분포이다. 

k 차원의 벡터 X = (X1,X2,...,Xk)가 있을 때, Xj의 모든 선형조합이 정규분포를 갖는다면 벡터 X는 다변량 정규분포를 갖는다고 말한다. 다시 말해,

 

에서 상수 t1, ... , tk를 어떻게 설정하든 간에 정규 분포를 가져야 한다는 말이다. 여기서 k=2인 경우는 Bivariate Normal이라고 하기도 한다.

X = (X1,X2,...,Xk)가 MVN이면 각 marginal distribution Xj는 정규 분포이지만 반대의 경우는 성립하지 않는다. 예를 들어보자.

X가 표준정규분포로 놓고

 

 

S가 위와 같은 random sign이라 하자. 그러면 Y = SX 또한 표준정규분포를 따른다.(정규분포의 대칭성에 의해) 하지만 (X, Y)는  S가 -1인 경우, P(S = -1) = P(X+Y = 0) = 1/2이므로 bivariate normal이 아니게 된다.